(本題滿分14分)設(shè)a為實數(shù),函數(shù),x
(1) 當(dāng)a= 0時,求的極大值、極小值;
(2) 若x>0時,,求a的取值范圍;.
(3) 若函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù),求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a = 0時,f(x)= x3-3x2-9x,f '(x)= 3x2-6x-9 = 3(x + 1)(x-3),列表如下:
x | … | (-∞,-1) | -1 | (-1,3) | 3 | (3,+∞) | … |
f '(x) | … | + | 0 | - | 0 | + | … |
f (x) | … | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ | … |
所以f(x)的極大值為f(-1)= 5,極小值為f(3)=-27. ……………… 4分
(2)f(x)= x3-3(1-a)x2 +(a2 + 8a-9)x = x , 令 g(x)= x2-3(1-a)x + a2 + 8a-9,則問題等價于當(dāng)x>0時,g(x)= x2-3(1-a)x + a2 + 8a-9≥0,求a的取值范圍.
ⅰ)若二次函數(shù)g(x)的對稱軸<0,即a>1時,根據(jù)圖象,只需g(0)≥0,即a2 + 8a-9≥0,解得a≤-9或a≥1.結(jié)合a>1,得a>1.
ⅱ)若二次函數(shù)g(x)的對稱軸≥0,即a≤1時,根據(jù)圖象,只需△= 9(1-a)2-4(a2 + 8a-9)≤0,解得1≤a≤9.結(jié)合a≤1,得a = 1.
故當(dāng)x>0時,f(x)≥0,實數(shù)a的取值范圍是a≥1. ……………… 9分
(3)要使函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù),只需f '(x)在(0,1)上恒小于0,因為 f '(x)= 3x2-6(1-a)x + a2 + 8a-9,其二次項系數(shù)為3,從而只需f(0)≤0,且 f(1)≤0,
即 解得
易知<1, 所以 -9≤a≤.
綜上所述,若函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù),則a的取值范圍是-9≤a≤.
……………… 14分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)
設(shè)函數(shù),。
(1)若,過兩點和的中點作軸的垂線交曲線于點,求證:曲線在點處的切線過點;
(2)若,當(dāng)時恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求在[—1,2]上的最小值; (3)當(dāng)時,用數(shù)學(xué)歸納法證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011——2012學(xué)年湖北省洪湖二中高三八月份月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1與
F2,直線過橢圓的一個焦點F2且與橢圓交于P、Q兩點,若的周長為。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C經(jīng)過伸縮變換變成曲線,直線與曲線相切
且與橢圓C交于不同的兩點A、B,若,求面積的取值范圍。(O為坐標(biāo)原點)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)卷三 題型:解答題
(本題滿分14分)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:“①方有實數(shù)根;②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”
(I)證明:函數(shù)是集合M中的元素;
(II)證明:函數(shù)具有下面的性質(zhì):對于任意,都存在,使得等式成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省揭陽市高三調(diào)研檢測數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
本題滿分14分)
設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)若,試確定的單調(diào)性;
(3)記,且在上的最大值為M,證明:.
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