Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線為l．
（1）求經過點F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程；
（2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點M，求點M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出拋物線y²=4x的焦點與準線方程，設圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，利用經過點F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程，建立方程組，即可求得圓的方程；
（2）設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0）代入拋物線方程，消元，確定P的坐標，求得線段AB的垂直平分線方程，求得與x軸交于點M的橫坐標，即可確定M的取值范圍．
解答：解：（1）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線為l為x=-1，設圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵經過點F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程，
∴
∴或
∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，或（x-1）²+（y+2）²=4；
（2）依題意，可設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為P
將直線方程代入拋物線方程，消元可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=，∴
∴，
∴線段AB的垂直平分線方程為
∴x軸交于點M的橫坐標為
∴M的取值范圍是（3，+∞）．
點評：本題考查圓的方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是利用待定系數法求圓的方程，屬于中檔題．