Question

已知拋物線y²=4x，焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，點(diǎn)P（m，n）在拋物線上移動(dòng)，Q是OP的中點(diǎn)，M是FQ的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）求

n

m+3

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用M是FQ的中點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，分別推出M，P，Q的坐標(biāo)故選，利用P（m，n）在拋物線上，求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）通過

n

m+3

的幾何意義，直接聯(lián)立方程組，利用△≥0，求出它的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）
∵M(jìn)是FQ的中點(diǎn)，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，
又Q是OP的中點(diǎn)∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在拋物線y²=4x上，
∴（4y）²=4（4x-2），
所以M點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-

1

2

．
（2）

n

m+3

可看作拋物線上的點(diǎn)與定點(diǎn)（-3，0）連線的斜率，設(shè)

y

x+3

=k，

y x+3 =k y2=4x

，可得k²x²+（6k²-4）x+9k²=0，由△≥0，
可得k2≤

1

3

，
所以它的取值范圍．k∈[-

3

3

，

3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線的斜率的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，考查計(jì)算能力．