Question

已知常數(shù)a＞0，n為正整數(shù)，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是關(guān)于x的函數(shù)．
（1）判定函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）對(duì)任意n≥a，證明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

Answer 1

（1）f_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，理由如下：
f_n′（x）=nx^n-1-n（x+a）^n-1=n[x^n-1-（x+a）^n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴f_n′（x）＜0，
∴f_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．（4分）
證明：（2）由上知：當(dāng)x＞a＞0時(shí)，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是關(guān)于x的減函數(shù)，
∴當(dāng)n≥a時(shí)，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ（2分）

又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]， ∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n] =(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分)

（n+1）f′_n（n）=（n+1）n[n^n-1-（n+a）^n-1]=（n+1）[（nⁿ-n（n+a）^n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′_n+1（n+1）＜（n+1）f′_n（n）（2分）