Question

已知常數(shù)a＞0，n為正整數(shù)，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是關于x的函數(shù)．
（1）判定函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性，并證明你的結論；
（2）對任意n≥a，證明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)的值，即可證明函數(shù)f_n（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）的結論，我們易得當x＞a＞0時，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是關于x的減函數(shù)，且n≥a時，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ，求出f′_n+1（n+1）后，用不等式的性質(zhì)即可得到結論．
解答：解：（1）f_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，理由如下：
f_n′（x）=nx^n-1-n（x+a）^n-1=n[x^n-1-（x+a）^n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴f_n′（x）＜0，
∴f_n（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．（4分）
證明：（2）由上知：當x＞a＞0時，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是關于x的減函數(shù)，
∴當n≥a時，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ（2分）

（n+1）f′_n（n）=（n+1）n[n^n-1-（n+a）^n-1]=（n+1）[（nⁿ-n（n+a）^n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′_n+1（n+1）＜（n+1）f′_n（n）（2分）
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，是解答問題的關鍵．