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已知函數f(x)=
px2+2
q-3x
是奇函數，且f(2)=-
5
3
．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求證：f(
1
x
)=f(x)．
分析：（1）利用奇函數的定義得到q=0，代入表達式并結合f(2)=-
5
3
，解之可得p=2，即可得到函數f（x）的解析式；
（2）根據（1）中求出的表達式，以
1
x
代替x，化簡整理即可得到原不等式成立．
解答：解：（1）∵f(x)=
px2+2
q-3x
是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），得q=0，函數表達式為f(x)=
px2+2
-3x

又∵f(2)=
4p+2
-3×2
=-
5
3
，解之得p=2
∴函數f（x）的解析式為f(x)=
2x2+2
-3x

（2）由（1）得：f(x)=
2x2+2
-3x
=-
2
3
x-
2
3x

∴f(
1
x
)=-
2
3x
-
2
3•
1
x
=-
2
3x
-
2
3
x，得f(
1
x
)=f(x)成立
點評：本題給出含有字母參數的函數為奇函數，求參數的值并證明f(
1
x
)=f(x)，考查了函數的定義與表示、函數的奇偶性等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）試確定實數b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)，h(x)=
2(x-1)
x+1

（1）當a=-2時，函數F（x）=f（x）-g（x）在其定義域范圍是增函數，求實數b的取值范圍；
（2）當x＞1時，證明f（x）＞h（x）成立；
（3）記函數f（x）與g（x）的圖象分別是C1、C2，C1、C2相交于不同的兩點P，Q，過線段PQ的中點R作垂直于x軸的垂線，與C1、C2分別交于M、N，問是否存在點R，使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行？若存在，試求出R點的坐標；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x+
tx
(x＞0)，過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（1）當t=2時，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數g（t）的表達式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

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