已知函數(shù)f(x)=x+
tx
(x＞0)，過點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式．
分析：（1）當(dāng)t=2時，f(x)=x+
2
x
，對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線MP的方程，由過（1，0）可，代入可得x1，x2滿足x2+2tx-t=0．由方程的思想可得
x1+x2=-2t
x1x2 =-t
，代入|MN|=
(x1-x2)2+(x1+
t
x1
-x2-
t
x2
)2
=
(x1-x2)2[1+(1-
t
x1x2
)2]
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
t
x1x2
)2]
可求
解答：解：（1）當(dāng)t=2時，f(x)=x+
2
x
，--------（2分）
f′(x)=1-
2
x2
=
x2-2
x2
＞0
解得x＞
2
或x＜-
2
--------（4分）
則函數(shù)f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-
2
)，(
2
，+∞)--------（5分）
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，
∵f′(x)=1-
t
x2

∴切線MP的方程為y-(x1+
t
x1
)= (1-
t
x12
)(x-x1)
∴0-(x1+
t
x1
)=(1-
t
x12
)(1-x1)…（8分）
同理，由切線PN也過點(diǎn)（1，0），得x22+2tx2-t=0．
由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx-t=0的兩根，
∴
x1+x2 =-2t
x1x2=-t
（*）
|MN|=
(x1-x2)2+(x1+
t
x1
-x2-
t
x2
)2
=
(x1-x2)2[1+(1-
t
x1x2
)2]
[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1-
t
x1x2
)2]

把（*）式代入，得|MN|=
20t2+20t
，
因此，函數(shù)g（t）=
20(t2+t)
(t＞0)--------------（15分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為改點(diǎn)的切線的斜率的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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