Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，
（I）若a=﹣2時(shí)，函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（II）在（I）的結(jié)論下，設(shè)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（III）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線(xiàn)分別交C₁、C₂于點(diǎn)M、N，問(wèn)是否存在點(diǎn)R，使C₁在M處的切線(xiàn)與C₂在N處的切線(xiàn)平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）依題意：h（x）=lnx+x²﹣bx．
∵h(yuǎn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴  對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
∴，
∵x＞0，則．
∴b的取值范圍是．
（II）設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，y_min=b+1；
當(dāng)1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2時(shí)，當(dāng)t=﹣時(shí)，；
，即b≤﹣4時(shí)，函數(shù)y在[1，2]上是減函數(shù)， 當(dāng)t=2時(shí)，y_min=4+2b．
綜上所述：
（III）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為．
C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)斜率為．
C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)斜率為．
假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)平行，則k₁=k₂．即．
則
                                                                               =，
∴
設(shè)，則，                                                        （1）
令，則，
∵u＞1，∴r'（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，r（u）＞r（1）=0，則，與（1）矛盾！