Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M、N分別為其短軸的兩個端點，且四邊形MF₁NF₂的周長為4，設(shè)過F₁的直線l與E相交于A、B兩點，且|AB|＝.

(1)求|AF₂|·|BF₂|的最大值；

(2)若直線l的傾斜角為45°，求△ABF₂的面積．

Answer 1

解：(1)因為四邊形MF₁NF₂為菱形，又其周長為4，故a＝1

由橢圓定義知|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a＝4，又因為|AB|＝，

所以|AF₂|＋|BF₂|＝，

所以|AF₂|·|BF₂|≤＝

當且僅當|AF₂|＝|BF₂|＝時，等號成立．

(此時AB⊥x軸，故可得A點坐標為，代入橢圓E的方程x²＋＝1得b＝<1，即當且僅當b＝時，|AF₂|＝|BF₂|＝)

所以|AF₂|·|BF₂|的最大值為.

(2)因為直線l的傾斜角為45°，所以可設(shè)l的方程為y＝x＋c，其中c＝

由(1)知橢圓E的方程為x²＋＝1

所以，設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則A、B兩點坐標滿足方程組

化簡得(1＋b²)x²＋2cx＋1－2b²＝0

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

因為直線l的斜率為1，所以|AB|＝|x₁－x₂|

即＝|x₁－x₂|，所以＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂

＝，得b²＝，b＝

所以c＝，l的方程為：y＝x＋

F₂到l的距離d＝1.

所以S_△ABC＝|AB|×1＝××1＝.