Question

某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為80
元/米²，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)．
（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；
（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．

Answer 1

分析：（1）污水處理池的底面積一定，設(shè)寬為x米，可表示出長，從而得出總造價(jià)f（x），利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價(jià)函數(shù)f（x）在x的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值變化情況，求得最小值．

解答：解：（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為

162

x

米．
則總造價(jià)f（x）=400×（2x+

2×162

x

）+248×2x+80×162=1296x+

1296×100

x

+12960
=1296（x+

100

x

）+12960≥1296×2×

x• 100 x

+12960=38880（元），
當(dāng)且僅當(dāng)x=

100

x

（x＞0），即x=10時(shí)，取等號(hào)．
∴當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38880元．
（2）由限制條件知

0＜x≤16 0＜ 162 x ≤16

，∴10

1

8

≤x≤16．
設(shè)g（x）=x+

100

x

（10

1

8

≤x≤16），
由函數(shù)性質(zhì)易知g（x）在[10

1

8

，16]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=10

1

8

時(shí)（此時(shí)

162

x

=16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值
1296×（10

1

8

+

800

81

）+12960=38882（元）．
∴當(dāng)長為16米，寬為10

1

8

米時(shí)，總造價(jià)最低，為38882元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，還考查了函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算能力．