Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB=AC=1，SA=2，D為BC的中點(diǎn)．M為SB上的點(diǎn)，且AM=

5

2

．
（1）求證：SC∥面ADM；
（2）若三棱錐S-ABC的體積為

3

6

，且∠BAC為鈍角，求直線DM與平面SAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明M為SB中點(diǎn)，利用D為BC中點(diǎn)，所以DM為三角形SBC中位線，所以DM∥SC，利用線面平行的判定定理，即可證明SC∥面ADM；
（2）利用三棱錐S-ABC的體積為

3

6

，且∠BAC為鈍角，可得∠BAC=120°，先求SC與平面SAD夾角，再求直線DM與平面SAD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：因?yàn)镾A⊥平面ABC，所以SA⊥AB，
△SAB中，勾股定理有SB=

5

．
因?yàn)锳M=

5

2

，三角形為直角三角形，所以M為SB中點(diǎn)，
又D為BC中點(diǎn)，所以DM為三角形SBC中位線，
所以DM∥SC，
因?yàn)镾C?面ADM，DM?面ADM，
所以SC∥面ADM；
（2）解：∵三棱錐S-ABC的體積為

3

6

，∴

1

3

×

1

2

×AB×AC×SCsinBAC=

3

6

，則∠BAC=120°
△BAC為等腰三角形，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，SD⊥BC，
故SC與平面SAD夾角為∠SCD，
∵CD=

1

2

，SC=

5

，∴SD=

19

2

，
∴sin∠SCD=

190

10

，
∵DM∥SC，
∴直線DM與平面SAD所成角的正弦值為

190

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．