Question

【題目】已知橢圓：，為坐標原點，為橢圓的左焦點，離心率為，直線與橢圓相交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若是弦的中點，是橢圓上一點，求的面積最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據可求得，結合離心率為即可求得，，問題得解。

（2）設，.設直線的方程為：，聯立直線與橢圓方程可得：，結合可求得，利用弦長公式求得，再利用直線與橢圓的位置關系即可求出點到直線的距離的最大值，問題得解。

解：∵，為橢圓的左焦點，

設橢圓的焦距為，所以，

∵離心率為，∴，又，所以，

∴橢圓的方程為：.

（2）設，.

∵是弦的中點，∴直線的斜率存在，設斜率為，

則直線的方程為：，即.

由聯立，整理得：，

因為直線與橢圓相交，所以成立.

∴，，

∴，

∴，

∴直線的方程為：，，，

∴ .

要使的面積最大值，而是定值，需點到的距離最大即可.

設與直線平行的直線方程為：，

由方程組聯立，得，

令，得.

∵是橢圓上一點，

∴點到的最大距離，即直線到直線的距離.

而，

此時 .

因此，的面積最大值為.