Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中點(diǎn)．將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)90°，得到梯形ABC′D′（如圖）．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABC′；
（Ⅱ）求證：C′N∥平面ADD′；
（Ⅲ）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵，N是BC的中點(diǎn)，
∴AD=NC，又AD∥BC，
∴四邊形ANCD是平行四邊形，∴AN=DC．
又∵等腰梯形，∴AN=AB．
又∠ABC=60°，
∴△ABN是等邊三角形．
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵平面CBA⊥平面ABC，
∴AC⊥平面ABC^′．
（Ⅱ）證明：∵AD∥BC，AD^′∥BC^′，
AD^′∩AD=A，BC∩BC^′=B，
∴平面ADD^′∥平面BCC^′，
∴C^′N∥平面ADD^′．
（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC^′，
同理AC^′⊥平面ABC，建立如圖如示坐標(biāo)系
設(shè)AB=1，
則B（1，0，0），C，，，
則，．
設(shè)平面C^′NC的法向量為，
則，即，
令z=1，則x=，y=1，得．
∵AC^′⊥平面ABC，∴平面C^′AN⊥平面ABC．
又BD⊥AN，平面C^′AN∩平面ABC=AN，
∴BD⊥平面C^′AN，
設(shè)BD與AN交于點(diǎn)O，O則為AN的中點(diǎn)，O．
所以平面C^′AN的法向量．
∴=．
由圖形可知二面角A-C^′N-C為鈍角．
所以二面角A-C^′N-C的余弦值為．
分析：（Ⅰ）由梯形的性質(zhì)和N是BC的中點(diǎn)可得四邊形ANCD是平行四邊形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等邊三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD^′∥BC^′，利用面面平行的判定定理即可得出；
（Ⅲ）如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角的一余弦值．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、面面垂直與平行的判定及性質(zhì)、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求空間角是解題的關(guān)鍵．