Question

已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的不恒為零的函數，且對定義域內的任意x，y，f（x）都滿足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（I）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意，x=y=1，可求得f（1），再令x=y=-1，可求得f（-1）的值；
（Ⅱ）利用賦值法（令y=-1）可得到f（-x）與f（x）的關系，從而可判斷函數的奇偶性．

解答：解：（I）定義域內的任意x，y，f（x）都滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分
（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分
∵f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x），…12分
∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數…13分

點評：本題考查函數的值與函數奇偶性的判斷，著重考查賦值法的靈活運用，考查觀察與分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．