【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程;
(Ⅱ)設(shè),其中為非零實(shí)數(shù),若有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析
【解析】試題分析: (Ⅰ)設(shè)切點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值,切點(diǎn)在切線上也在曲線上列方程組,可解得切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程,(Ⅱ)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件:,并求出極值點(diǎn),再研究函數(shù),此時(shí)先將用表示,轉(zhuǎn)化為證明一元函數(shù)在上最小值大于零,這可以利用導(dǎo)數(shù)易得.
試題解析:解:(Ⅰ)
設(shè)切點(diǎn)為,則切線的斜率為
點(diǎn)在上,
,解得
切線的斜率為,切線方程為
(Ⅱ)
當(dāng)時(shí),即時(shí),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由得,,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),由得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn),即,
,由得,
由
,即證明
即證明
構(gòu)造函數(shù),
在上單調(diào)遞增,
又,所以在時(shí)恒成立,即成立
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若f(1)=,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列三個(gè)集合:
①{x|y=x2+1};
②{y|y=x2+1};
③{(x,y)|y=x2+1}.
(1)它們是不是相同的集合?
(2)它們各自的含義是什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a- (a∈R).
(1) 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并給出證明;
(2) 若存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求a;
(3)對于(2)中的a,若f(x)≥,當(dāng)x∈[2,3]時(shí)恒成立,求m的最大值.
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【題目】已知為上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), .對于結(jié)論
(1)當(dāng)時(shí), ;(2)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為4,5,7;
(3)若,關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根,則;
(4)若函數(shù)在區(qū)間上恒為正,則實(shí)數(shù)的范圍是.
說法正確的序號是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求的值;
(2)若函數(shù),且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測可知,進(jìn)入21世紀(jì)以來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2009年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x) 萬件之間的關(guān)系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.
(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取其中你認(rèn)為最適合的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式;
(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響,2015年的年產(chǎn)量比預(yù)計(jì)減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2015年的年產(chǎn)量.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}
(1)若a=-2,求B∩A,B∩UA;
(2)若BA,求實(shí)數(shù)a取值范圍.
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