Question

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的

1

4

”的情況有且只有一種，則

r

l

=

3

2

．

Answer 1

分析：由題意畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面圖，設(shè)出圓錐的高，圓柱的高和底面半徑，然后根據(jù)平行關(guān)系建立方程，由滿足條件“圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的

1

4

”的情況有且只有一種知方程有唯一解，利用方程的判別式等于0得圓錐的母線長(zhǎng)l與底面半徑r的關(guān)系．

解答：解：由題意畫出軸截面圖，如圖所示，
圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，
設(shè)圓錐高為h，內(nèi)接圓柱高為x，底面半徑為y，
∵CD∥AB，∴

O′C

OB

=

SO′

SO

，∴

y

r

=

h-x

h

，則y=

r

h

(h-x)，
∴圓錐的側(cè)面積S₁=πrl，圓柱的側(cè)面積S₂=2πx•y=2πx•

r

h

(h-x)．
由圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的

1

4

得：

1

4

πrl=

1

4

πr

r2+h2

=2πx•

r

h

(h-x)，
即8x2-8hx+h

h2+r2

=0，也就是8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0．
又“圓錐的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的

1

4

”的情況有且只有一種
∴方程8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0有且只有一個(gè)解，
∴△=(-8

l2-r2

)2-4×8

l2-r2

•l=0，
即32

l2-r2

•(2

l2-r2

-l)=0．
∵32

l2-r2

＞0，
∴2

l2-r2

-l=0，
整理得：(

r

l

)2=

3

4

，∴

r

l

=

3

2

．
∴圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的

1

4

”的情況有且只有一種時(shí)的

r

l

=

3

2

．
故答案為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)體中組合體的關(guān)系，考查了學(xué)生的觀察與分析能力，考查了空間想象能力，解答此題的關(guān)鍵是把題目給出的條件轉(zhuǎn)化成方程有唯一解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)訓(xùn)練了學(xué)生對(duì)一元二次方程有唯一解情況的處理，是中檔題．