Question

如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l＝4，M為母線SA上的一個(gè)點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求：

(1)設(shè)f(x)為繩子最短長(zhǎng)度的平方，求f(x)表達(dá)式；

(2)繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離；

(3)f(x)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)（2）（3）32

【解析】

試題分析：將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上，如圖，則該展開圖為扇形，且弧AA′的長(zhǎng)度L就是⊙O的周長(zhǎng)，

∴L＝2πr＝2π.∴∠ASA′＝×360°＝×360°＝90°，

(1)由題意知，繩長(zhǎng)的最小值為展開圖中的AM，其值為AM＝ (0≤x≤4)，

∴f(x)＝AM²＝x²＋16(0≤x≤4)．

(2)繩子最短時(shí)，在展開圖中作SR⊥AM，垂足為R，則SR的長(zhǎng)度為頂點(diǎn)S到繩子的最短距離．在△SAM中，∵S_△SAM＝SA·SM＝AM· SR，

∴SR＝＝ (0≤x≤4)．

(3)∵f(x)＝x²＋16(0≤x≤4)是增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(4)＝32.

考點(diǎn)：本小題主要考查扇形的弧長(zhǎng)、面積公式等的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化，將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決.