已知橢圓C1=1 (a>b>0)與雙曲線C2:x2-=1 有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn).若C1恰好將線段AB三等分,則( )
A.a(chǎn)2=
B.a(chǎn)2=3
C.b2=
D.b2=2
【答案】分析:先由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x,根據(jù)對(duì)稱性易AB為圓的直徑且AB=2a,利用橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn),得方程a2-b2=5;設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2x),代入C1的方程得:;對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2x,根據(jù)C1恰好將線段AB三等分得:2x=,從而可解出a2,b2的值,故可得結(jié)論
解答:解:由題意,C2的焦點(diǎn)為(±,0),一條漸近線方程為y=2x,根據(jù)對(duì)稱性易AB為圓的直徑且AB=2a
∴C1的半焦距c=,于是得a2-b2=5   ①
設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2x),代入C1的方程得:②,
由對(duì)稱性知直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)=2x,
由題得:2x=,所以    ③
由②③得a2=11b2  ④
由①④得a2=5.5,b2=0.5  
故選C
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓,雙曲線為載體,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解題思路清晰,但計(jì)算有點(diǎn)煩瑣,需要小心謹(jǐn)慎.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1=1,拋物線C2:(y-m)2=2px(p>0),且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).

(1)當(dāng)ABx軸時(shí),求m、p的值,并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;

(2)若p=且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上,求m的值及直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年遼寧省本溪一中、莊河高中聯(lián)考高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1+=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,F(xiàn)1、F2分別為其左右焦點(diǎn).一動(dòng)圓過點(diǎn)F2,且與直線x=-1相切.
(Ⅰ)(ⅰ)求橢圓C1的方程; (ⅱ)求動(dòng)圓圓心C軌跡的方程;
(Ⅱ)在曲線上C有兩點(diǎn)M、N,橢圓C1上有兩點(diǎn)P、Q,滿足MF2共線,共線,且=0,求四邊形PMQN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年吉林省長(zhǎng)春十一高高二(下)期初數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其中F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn),M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且
(I)求橢圓C1的方程;   
(Ⅱ)已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上,頂點(diǎn)B、D在直線7x-7y+1=0上,求直線AC的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省中山一中等六校聯(lián)考高三(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C1+=1(a>b>0)的離心率為,直線l:x-y+=0與橢圓C1相切.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,直線l1過點(diǎn)F1且垂直與橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線l2垂直于直線l1于點(diǎn)P,線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(3)若A(x1,2),B(x2,y2),C(x,y)是C2上不同的點(diǎn),且AB⊥BC,求實(shí)數(shù)y的取值范圍.

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