Question

已知數(shù)列{a_n}的通項an=

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+3

，為了使不等式an＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t對任意n∈N^*恒成立的充要條件．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列的通項公式表是出a_n+1，進(jìn)而求得a_n+1-a_n＞0進(jìn)而可推斷出a_n＞a_n-1＞a_n-2＞＞a₂＞a₁，欲使得題設(shè)中的不等式對任意n∈N^*恒成立，只須{a_n}的最小項a1＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t即可，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得t的范圍．

解答：解：∵an+1-an=

1

2n+4

+

1

2n+5

-

1

n+3

=(

1

2n+4

-

1

2n+6

)+(

1

2n+5

-

1

2n+6

)＞0，
則a_n＞a_n-1＞a_n-2＞＞a₂＞a₁，
欲使得題設(shè)中的不等式對任意n∈N^*恒成立，
只須{a_n}的最小項a1＞lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

lo

g

2 (t-1)

t即可，
又因為a1=

1

4

+

1

5

=

9

20

即只須t-1≠1且lo

g

2 t

(t-1)-

9

20

lo

g

2 t

(t-1)-

11

20

＜0，
解得-1＜log_t（t-1）＜t（t＞1），
即0＜

1

t

＜t-1＜t(t≠2)，
解得實(shí)數(shù)t應(yīng)滿足的關(guān)系為t＞

1+ 5

2

且t≠2．

點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．