Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=

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AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明四邊形ABCE是平行四邊形，可得O是AC的中點(diǎn)，利用F為線段PC的中點(diǎn)，可得PA∥OF，從而可證AP∥平面BEF；
（Ⅱ）證明BE⊥AP、BE⊥AC，即可證明BE⊥平面PAC．

解答： 證明：（Ⅰ）連接CE，則
∵AD∥BC，BC=

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AD，E為線段AD的中點(diǎn)，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，BCDE是平行四邊形，
設(shè)AC∩BE=O，連接OF，則O是AC的中點(diǎn)，
∵F為線段PC的中點(diǎn)，
∴PA∥OF，
∵PA?平面BEF，OF?平面BEF，
∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四邊形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四邊形ABCE是平行四邊形，
∴四邊形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，
∴BE⊥平面PAC．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行、垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用直線與平面平行、垂直的判定是關(guān)鍵