Question

正方體，的棱長為1，為的中點，則下列五個命題：
①點到平面，的距離為
②直線與平面，所成的角等于
③空間四邊形，在正方體六個面內形成六個射影，其面積的最小值是
④與所成的角
⑤二面角的大小為 
其中真命題是                     。（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

②③④

這道題目顯然考查的是我們對于立體幾何的理解及相關知識點的運用。這其實也是一種較為平常的題型即五選三題型。一看到這種類型，我們應該在初讀題干之后，從選項入手。下面就每一個選項具體進行具體分析：①考查點到面的距離，很明智的解決辦法是試圖在我們可見的方位上找出過點的一條垂直于面的直線，很簡單地我們發(fā)現(xiàn)（為正方體的中心）是一條符合要求的直線，所以距離為面對角線長的一半即，假；②考查直線與面的夾角，顯然直線與面有交點，再從側面看顯然直線與面的夾角為，真；③考查空間上的面射影，按照射影的規(guī)律我們依次得到空間四邊形的前后射影、左右射影均為直角邊長為1的直角三角形，上下射影為邊長為1的正方形，故最小射影的面積為，真；④考查空間中的直線夾角，顯然采取平移的辦法將移到面上，則由余弦定理知兩直線夾角的余弦值為（計算時將邊長擴大了一倍計算更為方便）則夾角為，真；⑤考查二面角，顯然是體對角線，、兩點關于面對稱，則將問題簡化為點與面的夾角兩倍的求解，再將問題從空間簡化到平面上來，則夾角的正切值為（同樣將數(shù)據(jù)擴大了一倍）則有所求二面角為，不等于，假。綜上，正確答案是②③④。