Question

【題目】已知函數(shù)（）在處的切線與直線平行.

（1）求的值并討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)（為常數(shù)）有兩個零點（）

①求實數(shù)的取值范圍；

②求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)切線的斜率可知在處的導數(shù)，從而求出的值,再根據(jù)導數(shù)的正負討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）①根據(jù)函數(shù)有兩個零點知，函數(shù)的最小值要小于0即可求出；②設(shè)，構(gòu)造函數(shù)（），利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)即可求證.

試題解析：

（1），

，∴.

∴

令，

則

∴時， ； 時， .

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴在時， ，

即時， ，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（2）①由條件可知， ，

則

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

要使函數(shù)有兩個零點，則

∴.

②證明：由①可知，∴，

又是兩個零點

∴

令（）

則，

∴

即

又在上單調(diào)遞減，

∴，即