Question

已知函數(shù)g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（

4π

3

-2x），x∈R．
（1）求函數(shù)最小正周期及單調(diào)區(qū)間；
（2）不畫圖，如何由y=sinx的圖象變得g（x）的圖象？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得g（x）=2sin（2x+

π

6

），易得最小正周期T=π，解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得單調(diào)遞增區(qū)間，解2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）y=sinx的圖象向左平移可得y=sin（x+

π

6

）圖象，再縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

可得y=sin（2x+

π

6

）圖象，然后橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2可得g（x）=2sin（2x+

π

6

）圖象．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（

4π

3

-2x）
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)最小正周期T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
同理由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，

2π

3

]（k∈Z）；
（2）由函數(shù)圖象的變換規(guī)則可得y=sinx的圖象向左平移可得y=sin（x+

π

6

）圖象，
再縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

可得y=sin（2x+

π

6

）圖象，
然后橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2可得y=2sin（2x+

π

6

）圖象，即g（x）的圖象

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及圖象變換，屬中檔題．