精英家教網(wǎng)正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均相等，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1C1的中點，截面EBCF將三棱柱截成幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ兩個幾何體．
①求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比；
②求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比．
分析：（1）易知幾何體Ⅰ是一個三棱臺，側面積等于5個側面面積的和，幾何體Ⅱ也有5個面，側面積等于5個側面面積的和，將這兩個幾何體的表面積相除，可得結果．
（2） 幾何體Ⅰ是一個三棱臺，其體積由面積公式可求得；幾何體Ⅱ的體積用整個三棱柱的體積減去幾何體Ⅰ的體積可得，計算這兩個幾何體的體積之比．
解答：解：（1）設正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為1，由三角形的中位線的性質(zhì)得A1EF的面積
為
1
4
×（
1
2
×1×1×
3
2
）=
3
16
，BE=
1+
1
4
=
5
2
，
幾何體Ⅰ的全面積為
3
16
+2×（
1+
1
2
2
×1）+
1
2
×1×1×
3
2
+
(1+
1
2
)
5
4
-
1
16
2
=
5
3
+24+3
19
16
．
幾何體Ⅱ的表面積為 1×1+2×（
1
2
×
1
2
×1）+
3
4
（
1
2
×1×1×
3
2
）+
(1+
1
2
)
5
4
-
1
16
2
=
24+3
3
+3
19
16
，
 故求幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的表面積之比為：
5
3
+24+3
19
3
3
+24+3
19
．
（2） 幾何體Ⅰ是一個三棱臺，其體積為
1
3
×（
3
16
+
3
16
×
3
4
+
3
4
）×1=
7
3
48
，
幾何體Ⅱ的體積為
3
4
×1-
7
3
48
=
5
3
48
，
故幾何體Ⅰ和幾何體Ⅱ的體積之比為：
7
5
．
點評：本題考查棱柱、棱臺的表面積、體積的計算方法，以及用間接方法求出不規(guī)則幾何體的體積．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面邊長為
2

（1）設側棱長為1，求證A B1⊥B C1；
（2）設A B1與B C1成600角，求側棱長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數(shù)學公式=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：1996年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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