Question

如圖：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB=

AA1

3

=a，E，F(xiàn)分別是BB₁，CC₁上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-AEF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證面ADF⊥面ACF，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADF內(nèi)一直線與平面ACF垂直，根據(jù)題意易證CA⊥AD，而FC⊥面ACD，則CA是FA在面ACD上射影，F(xiàn)A∩AC=A，滿足線面垂直的判定定理，則DA⊥面ACF，而DA?面ADF，滿足面面垂直的判定定理．
（Ⅱ）先根據(jù)VA1-AEF=VE-AA1F將所求的體積進行轉(zhuǎn)化，在面A₁B₁C₁內(nèi)作B₁G⊥A₁C₁，垂足為G，求出B₁G，然后利用體積公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵BE：CF=1：2
∴DC=2BD，∴DB=BC，
∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=120°，∴∠BAD=30°，
∴∠CAD=90°，
∵FC⊥面ACD，
∴CA是FA在面ACD上射影，
且CA⊥AD，∵FA∩AC=A，
DA⊥面ACF，DA?面ADF
∴面ADF⊥面ACF．
（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F．
在面A₁B₁C₁內(nèi)作B₁G⊥A₁C₁，垂足為G．
B₁G=

3 a

2

面A₁B₁C₁⊥面A₁C
∵B₁G⊥面A₁C，
∵E∈BB₁，而BB₁∥面A₁C，
∴三棱柱E-AA₁F的高為B₁G=

3 a

2

3 a

2

S△AA1F=AA₁•

AC

2

=

3a2

2

∴VA1-AEF=VE-AA1F=

3 a3

4

點評：本小題考查空間線面關(guān)系，正三棱柱的性質(zhì)，邏輯思維能力，空間想象能力運算能力．