Question

已知向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），且

a

，

b

共線，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求tan(θ+

π

4

)的值；
（2）若5cos（θ-φ）=3

5

cosφ，0＜φ＜

π

2

，求φ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的充要條件求出tanθ的值，進(jìn)一步求出結(jié)果．
（2）根據(jù)第一步的結(jié)論，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換進(jìn)一步求出tanΦ=1，再根據(jù)角的范圍求出Φ的值．

解答： 解：（1）向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），
且

a

，

b

共線，
則：sinθ-2cosθ=0
解得：tanθ=2
所以：tan(θ+

π

4

)=

1+tanθ

1-tanθ

=-3
（2）由（1）tanθ=2，又θ∈(0，

π

2

)
所以：sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

因?yàn)椋?cos（θ-φ）=3

5

cosφ，
展開(kāi)整理后求得：sinφ=cosφ
即：tanφ=1
由于：0＜φ＜

π

2

所以：φ=

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的充要條件，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換利用已知條件求出函數(shù)的值．屬于基礎(chǔ)題型．