周長為2的直角三角形的面積的最大值為
3-2
2
3-2
2
．
分析：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，因為L=a+b+c，c=
a2+b2
，兩次運用均值不等式即可求解．
解答：解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，則直角三角形的面積S=
1
2
ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+
a2+b2
=2，
∴2=a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
=（2+
2
）
ab
，
∴
ab
≤
2
2+
2
=2-
2
，∴ab≤（2-
2
）2=6-4
2
，
∴S=
1
2
ab≤3-2
2
，當且僅當a=b=2-
2
時，S取最大值3-2
2
．
故答案為：3-2
2
．
點評：利用均值不等式解決實際問題時，列出有關(guān)量的函數(shù)關(guān)系式或方程式是均值不等式求解或轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的平面直角坐標系中，三角形AOB是腰長為2的等腰直角三角形，動點P與點O位于直線AB的兩側(cè)，且∠APB=
34
π．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點P作PH⊥OA交OA于H，求△OHP得周長的最大值及此時P點得坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下列命題：
①若
AB
=(3，4)，則
AB
按
a
=(-2，1)平移后的坐標為（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，則
MA
 +
MB
 +
MC
 =
0
；
③周長為
2
+1的直角三角形面積的最大值為
1
4
；
④在△ABC中，若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的序號是（將所有正確的序號全填在橫線上）
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

周長為2的直角三角形的面積的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：河北邯鄲2009-2010學年高一下學期期末 題型：選擇題

 周長為2的直角三角形面積的最大值為                         （    ）

    A．     B．     C．     D．

 

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