已知下列命題：
①若
AB
=(3，4)，則
AB
按
a
=(-2，1)平移后的坐標(biāo)為（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，則
MA
 +
MB
 +
MC
 =
0
；
③周長(zhǎng)為
2
+1的直角三角形面積的最大值為
1
4
；
④在△ABC中，若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的序號(hào)是（將所有正確的序號(hào)全填在橫線上）
②③④
②③④
．
分析：①據(jù)向量的可平移性得到平移后的向量的坐標(biāo)，
②連接AM并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，且AM=
2
3
BC，利用三角形法則用向量
AB
和
AC
表示即可．
③因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c，c=
a2+b2
，兩次運(yùn)用均值不等式即可求解；或者利用三角代換，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題．
④利用正弦定理，求出sin
1
2
A=sin
1
2
B=sin
1
2
C，推出△ABC是等邊三角形．
解答：解：①∵
AB
=(3，4)
∵向量是可平移的，平移后只改變起點(diǎn)、中的位置，不改變向量的坐標(biāo)
∴平移后的坐標(biāo)為（3，4），故錯(cuò)；
②連接AM并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，且AM=
2
3
BC，
由三角形法則
AM
+
BM
+
CM
=
AM
+
AM
-
AB
+
AM
-
AC
=3
AM
-
AB
-
AC
=3×
2
3
AD
-
AB
-
AC

=(
AC
+
AB
)-
AB
-
AC
=
0

故
MA
+
MB
+
MC
=
0
正確；
③直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，周長(zhǎng)L為
2
+1，面積為s，
a+b+
a2+b2
=L≥2
ab
+
2ab
．
∴
ab
≤
L
2+
2
．
∴S=
1
2
ab≤
1
2
（
L
2+
2
）2
=
1
2
•[
(2-
2
)L
2
]2=
3-2
2
4
L2=
1
4
．故正確；
④∵
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，得sin
1
2
A=sin
1
2
B=sin
1
2
C，
∴A=B=C⇒a=b=c，則△ABC是等邊三角形，正確．
故答案為：②③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的性質(zhì)：向量是可以平移的，平移后與原向量相等；考查向量的三角形法則、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解決實(shí)際；考查三角函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力邏輯推理能力，常考題型．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題中：
（1）若k∈R，且k
b
=
0
，則k=0或
b
=
0

（2）若
a
-
b
=0，則
.
a
=
0
或
b
=
0

（3）若不平行的兩個(gè)非零向量
a
，
b
，滿足|
a
|=|
b
|，則（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=0
（4）若
.
a
與
.
b
平行，則
a
•
b
=|
.
a
|•|
.
b
|其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中：
①若a，b，m都是正數(shù)，且
a+m
b+m
＞
a
b
，則b＞a；      
②已知a，b都為實(shí)數(shù)，若|a+b|＜|a|+|b|，則ab＜0；       
 ③若a，b，c為△ABC的三條邊，則a2+b2+c2＞2（ab+bc+ca）；
④若a＞b＞c，則
1
a-b
+
1
b-c
+
1
c-a
＞0．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題：
①在∠ABC和∠DEF中，若AB∥DE，BC∥EF，則∠ABC=∠DEF；
②已知三條直線a，b，c，且a⊥b，c⊥b，則a∥c；
③已知直線a，b，m，n，且a∥m，b∥n，則a交b所成的角與m交n所成的角相等；
④如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．
其中真命題的有
③
③
（漏選得一半的分，錯(cuò)選不得分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列命題：
①命題p：“?x0∈R，x02-x0-1＞0”的否定￢p為：“?x∈R，x2-x-1≤0”；
②回歸直線一定過樣本中心（
.
x
，
.
y
）；
③若a=0.32，b=20.3，c=log0.32，則c＜a＜b．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知下列命題：

(1)若直線平面α，直線∩α=A，則，為異面直線．  (2)直線∥平面α，直線∥直線，則∥α．

(3)若直線l∥平面α，直線l∥平面β，則α∥β．  (4)若平面α⊥平面β，直線lα，則l⊥β．

其中真命題的個(gè)數(shù)是


  1. A.
    0個(gè)
  2. B.
    1個(gè)
  3. C.
    2個(gè)
  4. D.
    3個(gè)

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同步練習(xí)冊(cè)答案