Question

某飲料生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2013年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，飲料的年銷(xiāo)售量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元間滿(mǎn)足x=，已知2013年生產(chǎn)飲料的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件飲料需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件飲料的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和，則該年生產(chǎn)的飲料正好能銷(xiāo)售完．
（1）將2013年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（2）該企業(yè)2013年的年促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

解：（1）當(dāng)年銷(xiāo)量為x萬(wàn)件時(shí)，成本為3+32x（萬(wàn)元）．
飲料的售價(jià)為×150%+×（萬(wàn)元/萬(wàn)件）
所以年利潤(rùn)y=（×150%+×）x-（3+32x+t）（萬(wàn)元）
把x=代入整理得到y(tǒng)=，其中t≥0．
（2）y=，去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．
該關(guān)于t的方程在[0，+∞）上有解．
當(dāng)2y-35≤0，即y≤17.5時(shí)，必有一解．
當(dāng)2y-35＞0時(shí)，該關(guān)于t的方程必須有兩正根
所以 解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤(rùn)最大為42萬(wàn)元，此時(shí)促銷(xiāo)費(fèi)t=7（萬(wàn)元）．
所以當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．
分析：（1）確定飲料的售價(jià)，即可通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，化簡(jiǎn)代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）根據(jù)已知代入（1）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用關(guān)于t的方程必須有兩正根建立關(guān)系式，可求出最值，即促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、方程根的分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的理解和熟練運(yùn)用，屬于中檔題．