Question

14．已知f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
（1）求證：f（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定義域R上的增函數(shù)；
（2）由（1）可得當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）為增函數(shù)，求出函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．

解答 證明：（1）∵f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
∴f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$．
在定義域R上，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）是定義域R上的增函數(shù)-------（8分）    
解：（2）由（1）可得當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=0時，f（x）取最小值0，
當(dāng)x=1時，f（x）取最大值$\frac{1}{3}$，
即當(dāng)x∈[0，1]時，求f（x）值域為[0，$\frac{1}{3}$]-------（12分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，函數(shù)的值域，難度中檔．