Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA中點．
（1）求證：直線BD⊥平面OAC；
（2）求直線MD與平面OAC所成角的大�。�
（3）求點A到平面OBD的距離．

Answer 1

考點：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：方法一：（1）建立空間直角坐標系，通過向量的數(shù)量積為0，判斷直線與平面垂直．
（2）求出平面的法向量，即可求出直線與平面所成的二面角的大�。�
（3）利用向量在平面是的法向量上的投影即可求出點到平面的距離．
方法二：（1）直接證明直線BD垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即可利用判定定理證明結(jié)果．
（2）設(shè)AC與BD交于點E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角，通過解三角形求解即可．
（3）作AH⊥OE于點H．說明線段AH的長就是點A到平面OBD的距離，利用三角形相似求解即可．

解答： 解：方法一：以A為原點，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，A-xyz．
（1）∵

BD

=（-1，1，0），

AO

=（0，0，2），

AC

=（1，1，0）
∴

BD

•

AO

=0，

BD

•

AC

=-1+1=0
∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC=A
故BD⊥平面OAC                                     …（4分）
（2）取平面OAC的法向量

n1

=

BD

=（-1，1，0），又

MD

=（0，1，-1）
則：cos＜

n1

，

MD

＞=

1

2 • 2

=

1

2

∴＜

n1

，

MD

＞=60°
故：MD與平面OAC所成角為30°                  …（8分）
（3）設(shè)平面OBD的法向量為

n2

=（x，y，z），則

n2 • BD =0⇒-x+y=0 n2 • OB =0⇒x-2z=0

取

n2

=（2，2，1）
則點A到平面OBD的距離為d=

| AB • n2 |

| n2 |

=

2

3

…（12分）
方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD．
∵底面ABCD是邊長為1的正方形
∴BD⊥AC，又AC∩OA=A，∴BD⊥平面OAC                            …（4分）
（2）設(shè)AC與BD交于點E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角
∵MD=

2

，DE=

2

2

∴直線MD與平面OAC折成的角為30°                   …（8分）
（3）作AH⊥OE于點H．
∵BD⊥平面OAC
∴BO⊥AH
線段AH的長就是點A到平面OBD的距離．
∴AH=

OA•AE

OE

=

2• 2 2

3 2 2

=

2

3

∴點A到平面OBD的距離為

2

3

…（12分）

點評：本題考查點到平面的距離，直線與平面設(shè)出角的求法直線與平面的垂直的判斷與證明，考查空間想象能力以及計算能力．