Question

已知函數(shù)..
（1）設曲線處的切線為，點（1，0）到直線l的距離為，求a的值；
（2）若對于任意實數(shù)恒成立，試確定的取值范圍；
（3）當是否存在實數(shù)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)或(2)(3)不存在

試題分析：
(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標,對進行求導并得到在切點處的導函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結(jié)合條件點到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.
(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進行分離得到,則,再利用函數(shù)的導函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.
(3)根據(jù)切線的斜率即為曲線C在切點處的導函數(shù)值,即該問可以轉(zhuǎn)化為是否存在使得,令,則即存在使得,對再次求導進行最值求解可得,所以不存在使得.
試題解析：
（1）,.
在處的切線斜率為，
∴切線的方程為，即.  2分
又點到切線的距離為,所以，
解之得，或    4分
（2）因為恒成立，
若恒成立；
若恒成立，即，在上恒成立，
設則
當時，，則在上單調(diào)遞增；
當時，，則在上單調(diào)遞減；
所以當時，取得最大值，，
所以的取值范圍為.    9分
（3）依題意,曲線的方程為,令
所以,
設,則,當,
故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為
即
又時,
所以
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解,但是,沒有實數(shù)解,故不存在實數(shù)使曲線在點處的切線與軸垂直.    14分