Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0．由a_n＞0，得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，由此能求出a_n=

n+1

2

．
（2）由b_n=

an

2n

=

n+1

2n+1

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵2S_n=2a_n²+a_n-1，∴2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，
兩式相減得：2a_n+1=2（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）+（a_n+1-an），
即（a_n+1+a_n）（2a_n+1-2a_n-1）=0．
∵a_n＞0，∴2a_n+1-2a_n-1=0，∴a_n+1-a_n=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=

n+1

2

．
（2）∵b_n=

an

2n

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+

4

25

+…+

n+1

2n+2

，②
①-②得

1

2

T_n=

1

2

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

n+3

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．