Question

（本小題滿分15分）（文）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點.

     （Ⅰ）求證：PB⊥DM；

     （Ⅱ） 求CD與平面ADMN所成角的余弦

 

Answer 1

【答案】

 

  解：方法一：

（Ⅰ）因為N是PB的中點，PA=AB，

所以AN⊥PB。

因為AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，

從而PB⊥平面ADMN，

因為DM平面ADMN，

所以PB⊥DM。

（Ⅱ）取AD的中點G，連結(jié)BG、NG，

  則BG//CD，

所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN

所成的角相等。

因為PB⊥平面ADMN，

所以∠BGN是BG與平面ADMN所成的角。

在Rt△BGN中，

  sin∠BGN==。

  故CD與平面ADMN所成的角是arcsin。

方法二：

    如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，設(shè)BC=1，則

A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，，1），D（0，2，0）。

（Ⅰ）   因為

=0，所以PB⊥DM。

（Ⅱ）    因為  =0，

所以PB⊥AD，

又因為PB⊥DM，

所以PB⊥平面ADMN。

    因此的余角即是CD與平面ADMN所成的角

因為

  = ，

所以CD與平面ADMN所成的角為arcsin.

【解析】略