Question

已知向量=（2cosωx，-1），=（sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=•的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的表達式及最大值；
（Ⅱ）若在上f（x）≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量的數(shù)量積公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡得f（x）=2sin（2ωx+），由函數(shù)的周期算出ω的值，即可得到函數(shù)f（x）的表達式，進而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的最大值；
（2）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出當時y=2sin（2x+）的最大值為2且最小值為-1，由此結(jié)合f（x）≥a恒成立，可得實數(shù)a小于或等于f（x）的最小值，由此即可得到本題的答案．
解答：解：（1）f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）-1
=sin2ωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+）
∵f（x）的最小正周期為T==π，解之得ω=1
∴函數(shù)f（x）的表達式為y=2sin（2x+）；
（2）當時，2x+∈
∴當x=時，y=2sin（2x+）的最大值為2；
當x=時，y=2sin（2x+）的最小值為-1
因此，若在上f（x）≥a恒成立，則a≤-1
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．
點評：本題給出三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的最小正周期和最值，并討論不等式恒成立的問題．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量數(shù)量積運算和不等式恒成立的理解等知識，屬于中檔題．