Question

如圖，正四棱柱中，，點在上且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

                                 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角的大小為

【解析】依題設，，．

（Ⅰ）連結交于點，則．

由三垂線定理知，．························ 1分

在平面內(nèi)，連結交于點，

由于，

故，，

與互余．

于是．……………………..2分

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，…………….3分

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）作，垂足為，連結．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角．·················· 5分

，

，．…………..6分

，．

又，…………. 7分．

．

所以二面角的大小為．················· 8分

解法二：

以為坐標原點，射線為軸的正半軸，

建立如圖所示直角坐標系．

依題設，．

，．·········· 2分

（Ⅰ）因為，，

故，．…………..3分

又，

所以平面．··························· 4分

（Ⅱ）設向量是平面的法向量，則

，．

故，．

令，則，，．················· 6分

等于二面角的平面角，

．

所以二面角的大小為．……….   8分