Question

（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且。

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小。

Answer 1

（Ⅰ）證明見(jiàn)解析。

（Ⅱ）

解析:

解法一：

依題設(shè)知，。

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，則。

由三垂線定理知，。       3分

在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，

由于，

故，，

與互余。

于是。

與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，

所以平面。    6分

（Ⅱ）作，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，

故是二面角的平面角。  8分

，

，。

，。

又，。

。

所以二面角的大小為。    12分

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系。

依題設(shè)，。

，

。   3分

（Ⅰ）因?yàn)?img border=0 width=81 height=27 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/98/13498.gif">，，

故，。

又，

所以平面。    6分

（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則

，。

故，。

令，則，，。      9分

等于二面角的平面角，

。

所以二面角的大小為。   12分