Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為12，右頂點(diǎn)為A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且|AF₁|=5|AF₂|．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）圓C：（x-2）²+y²=4，點(diǎn)P是橢圓E上任意一點(diǎn)，線段CP交圓C于點(diǎn)Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）求出a，b即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓的方程，又|PQ|=|CP|-|CQ|，即可求得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，2a=12，
∴a=6，
又由|AF₁|=5|AF₂|，得a+c=5（a-c），
∴c=

2

3

a，
∴b²=a²-c²，
∴橢圓E的方程為：

x2

36

+

y2

20

=1；
（Ⅱ）由已知得，C（2，0），設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

36

+

y02

20

=1，（-6≤x₀≤6），
∴y02=20-

5

9

x02，
|PQ|=|CP|-|CQ|=

(x02-2)2+y02

-2=

4 9 (x0- 9 2 )2+15

-2，|，（-6≤x₀≤6），
∴當(dāng)x₀=

9

2

時(shí)，|PQ|有最小值

15

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探究能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．