【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象.求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)見解析.
【解析】
(1)利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡為,然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間,與定義域取交集可得出答案;
(2)利用三角函數(shù)圖象變換得出,解出不等式的解集,可得知對中的任意一個,每個區(qū)間內(nèi)至少有一個整數(shù)使得,從而得出結(jié)論.
(1).
令,解得,
所以,函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為,
,因此,函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,
再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象,
由,
對于中的任意一個,區(qū)間長度始終為,大于,
每個區(qū)間至少含有一個整數(shù),
因此,存在無窮多個互不相同的整數(shù),使得.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)過點,傾斜角為的直線l與曲線C相交于M,N兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若動點到定點與定直線的距離之和為.
(1)求點的軌跡方程,并在答題卡所示位置畫出方程的曲線草圖;
(2)(理)記(1)得到的軌跡為曲線,問曲線上關(guān)于點對稱的不同點有幾對?請說明理由.
(3)(文)記(1)得到的軌跡為曲線,若曲線上恰有三對不同的點關(guān)于點對稱,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人上午7時乘船出發(fā),以勻速海里/小時 從港前往相距50海里的港,然后乘汽車以勻速千米/小時()自港前往相距千米的市,計劃當天下午4到9時到達市.設(shè)乘船和汽車的所要的時間分別為、小時,如果所需要的經(jīng)費 (單位:元)
(1)試用含有、的代數(shù)式表示;
(2)要使得所需經(jīng)費最少,求和的值,并求出此時的費用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列,對任意都有,(其中k、b、p是常數(shù)).
(1)當,,時,求;
(2)當,,時,若,,求數(shù)列的通項公式;
(3)若數(shù)列中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當,,時,設(shè)是數(shù)列的前n項和,,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使得對任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項的所有取值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐S-ABCD的底面為正方形,,AC與BD交于E,M,N分別為SD,SA的中點,.
(1)求證:平面平面SBD;
(2)求直線BD與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,某省采用模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,每門科目滿分均為分.另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門科目中自選門參加考試(選),每門科目滿分均為分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級名學(xué)生(其中男生人,女生人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進行調(diào)查,其中,女生抽取人.
(1)求的值;
(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的名學(xué)生進行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在“物理”和“地理”這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的一個不完整的列聯(lián)表,請將下面的列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計 | |
男生 | |||
女生 | |||
總計 |
(3)在抽取到的名女生中,按(2)中的選課情況進行分層抽樣,從中抽出名女生,再從這名女生中抽取人,設(shè)這人中選擇“物理”的人數(shù)為,求的分布列及期望.附:,
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,曲線由兩個橢圓:和橢圓:組成,當成等比數(shù)列時,稱曲線為“貓眼曲線”.
(1)若貓眼曲線過點,且的公比為,求貓眼曲線的方程;
(2)對于題(1)中的求貓眼曲線,任作斜率為且不過原點的直線與該曲線相交,交橢圓所得弦的中點為M,交橢圓所得弦的中點為N,求證:為與無關(guān)的定值;
(3)若斜率為的直線為橢圓的切線,且交橢圓于點,為橢圓上的任意一點(點與點不重合),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,、分別是棱、的中點,、分別是線段與上的點,則與平面平行的直線有( )
A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條
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