Question

4．在一個邊長為1000m的正方形野生麋鹿保護區(qū)的正中央，有一個半徑為30m的圓形水塘，里面飼養(yǎng)者鱷魚，以提高麋鹿的抗天敵能力．
（1）剛投放進去的麋鹿都是在水塘以外的任意區(qū)域自由活動，若岸上距離水塘邊1m以內(nèi)的范圍都是鱷魚的攻擊區(qū)域，請判斷麋鹿受到鱷魚攻擊的可能性是否會超過1‰，并說明理由；
（2）現(xiàn)有甲、乙兩種類型的麋鹿，按野生麋鹿活動的規(guī)律，它們活動的適宜范圍平均每只分別不小于8000m²和4500m²（水塘的面積忽略不計），它們每只每年對食物的需求量分別是4個單位和5個單位，岸上植物每年提供的食物總量是720個單位，若甲、乙兩種麋鹿每只的科研價值比為3：2，要使得兩種麋鹿的科研總價值最大，保護區(qū)應投放兩種 麋鹿個多少只．

Answer 1

分析 （1）麋鹿受到鱷魚攻擊的可能性不會超過1‰．運用幾何概型的概率公式，求得正方形以外的面積，以及岸上距離水塘邊1m以內(nèi)的范圍的面積，由面積的比值，即可判斷；
（2）設保護區(qū)應投放兩種麋鹿各x，y只．甲、乙兩種麋鹿每只的科研價值為3t，2t．兩種麋鹿的科研總價值為z，則z=3xt+2yt，且x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{8000x+4500y≤100{0}^{2}}\\{4x+5y≤720}\\{x，y＞0，x，y∈N}\end{array}\right.$，畫出可行域，平移即可得到最大值．

解答 解：（1）麋鹿受到鱷魚攻擊的可能性不會超過1‰．
理由：設正方形ABCD的邊長為1000m，
圓O的半徑為30m，
則正方形的面積為1000²m²，
圓的面積為πr²=900πm²，
則水塘以外的任意區(qū)域的面積為1000²-900πm²，
岸上距離水塘邊1m以內(nèi)的范圍的面積為π（31²-30²）=61πm²，
由幾何概型的公式可得，麋鹿受到鱷魚攻擊的可能性為
$\frac{61π}{100{0}^{2}-900π}$≈0.00019＜0.001．
則麋鹿受到鱷魚攻擊的可能性不會超過1‰；
（2）設保護區(qū)應投放兩種麋鹿各x，y只．
甲、乙兩種麋鹿每只的科研價值為3t，2t．
兩種麋鹿的科研總價值為z，
則z=3xt+2yt，
且x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{8000x+4500y≤100{0}^{2}}\\{4x+5y≤720}\\{x，y＞0，x，y∈N}\end{array}\right.$，
畫出不等式組表示的平面區(qū)域，
令z=0即有y=-$\frac{3}{2}$x，
作出直線l₀：y=-$\frac{3}{2}$x，
平移l₀，可得通過點P（80，80），
可得z取得最大值，且為400t，
則要使得兩種麋鹿的科研總價值最大，
保護區(qū)應投放兩種麋鹿各80只．

點評 本題考查幾何概型的運用和不等式組表示的區(qū)域求最值的方法，考查數(shù)形結合和運算能力，屬于中檔題．