(本小題滿分13分)已知幾何體ABCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.

(1)求此幾何體的體積V的大小;

(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值;

(3)試探究在DE上是否存在點Q,使得AQBQ并說明理由.

 

 

 

 

【答案】

解析:(1)由該幾何體的三視圖知,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,

即該幾何體的體積V.    

(2)解法1:過點B作BF//ED交EC于F,連結(jié)AF,                                                    

則∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角.

在△BAF中,∵AB=,BF=AF=

即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

解法2:以C為原點,以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4

 

異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

 

 

(3)解法1:在DE上存在點Q,使得AQBQ.

取BC中點O,過點O作OQ⊥DE于點Q,

則點Q滿足題設(shè).

連結(jié)EO、OD,在Rt△ECO和Rt△OBD

    ∴    ∴

  ∴   ∴

,

以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切.切點為Q     ∴

,  ∴ ∴ 

面ACQ www.7caiedu.cn   

解法2: 以C為原點,以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)滿足題設(shè)的點Q存在,其坐標(biāo)為(0,m,n),則

,

∵AQBQ    ∴ ----------------------------①

 ∵點Q在ED上,∴存在使得

-----------②

代入①,解得

滿足題設(shè)的點Q存在,其坐標(biāo)為

 

【解析】略

 

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(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,的中點。

(Ⅰ)求證:∥平面

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(本小題滿分13分)

已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.

(1) 求函數(shù)的表達(dá)式;

(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積

(3) 求數(shù)列的前項和

 

 

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