Question

設(shè)f（x）=e^tx（t＞0），過(guò)點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y=f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過(guò)點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出切線的斜率k，設(shè)出R點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的斜率公式，寫出斜率k，并求出r，求出△PRS的面積為S=

et

2t

，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出S的最小值即可．

解答： 解：∵PQ∥y軸，P（t，0），
∴Q（t，f（t））即（t，et2），
又f（x）=e^tx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=xe^tx，
∴過(guò)Q的切線斜率k=tet2，
設(shè)R（r，0），則k=

et2-0

t-r

=tet2，
∴r=t-

1

t

，
即R（t-

1

t

，0），PR=t-（t-

1

t

）=

1

t

，
又S（1，f（1））即S（1，e^t），
∴△PRS的面積為S=

et

2t

，
導(dǎo)數(shù)S′=

et(t-1)

2t2

，由S′=0得t=1，
當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，
∴t=1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，
∴△PRS的面積的最小值為

e

2

．
故答案為：

e

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本的運(yùn)算能力，是一道中檔題．