Question

已知向量

m

=(

3

cos

x

4

，cos

x

4

)，

n

=(sin

x

4

，cos

x

4

)．
（Ⅰ）若

m

•

n

=

3 +1

2

，求cos(x+

π

3

)的值；
（Ⅱ）記f(x)=

m

•

n

-

1

2

，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(

2

a-c)cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)

m

•

n

 的解析式為sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，利用誘導(dǎo)公式求出
cos(x+

π

3

)的值．
（Ⅱ）根據(jù)f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，再利用條件可得

2

sinAcosB=sinA，求出cosB=

2

2

，可得B的值，
可得A的范圍，根據(jù)

A

2

+

π

6

的范圍求得f（A）的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

m

•

n

=

3 +1

2

=

3

cos

x

4

sin

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

，
 即sin(

x

2

+

π

6

)=

3

2

，所以cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=-

1

2

．------5分
（Ⅱ）∵f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，則f(A)=sin(

A

2

+

π

6

) (

2

a-c)cosB=bcosC，
則(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC，即

2

sinAcosB=sinA，
∴cosB=

2

2

，則 B=

π

4

．
∵A∈(0，

3

4

π)，

A

2

+

π

6

∈(

π

6

，

13π

24

)，∴f(A)∈(

1

2

，1]．-------10分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．