(2012•威海一模)已知向量
m
=(2cosx,
3
cosx-sinx),
n
=(sin(x+
π
6
),sinx)
,且滿足f(x)=
m
n

(I)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)設△ABC的內(nèi)角A滿足f(A)=2,且
AB
AC
=
3
,求邊BC的最小值.
分析:(I)根據(jù)向量的數(shù)量積公式和三角函數(shù)恒等變換的公式,化簡得函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
6
)
,再由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間和整體思想進行求解;
(II)把條件代入(I)得到的解析式化簡,再由A的范圍和正弦值求出A,再代入2sin(2x+
π
6
)
化簡求出bc的值,結(jié)合余弦定理和基本不等式求出a的最小值.
解答:解:(I)由題意得f(x)=
m
n
=2cosxsin(x+
π
6
)
+(
3
cosx-sinx)sinx
=2
3
sinxcosx+cos2x-sin2x=
3
sin2x+cos2x
=2sin(2x+
π
6
)
,
由2kπ-
π
2
2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得,kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,
則所求的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z).
(Ⅱ)由f(A)=2得,2sin(2x+
π
6
)
=2,即sin(2x+
π
6
)
=1,
∵0<A<π,∴
π
6
2A+
π
6
13π
6
,即2A+
π
6
=
π
2
,解得A=
π
6
,
AB
AC
=
3
得,bccosA=
3
,解得bc=2,
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-
3
bc
≥2bc-
3
bc=(2-
3
)bc
,當且僅當b=c時取等號,
amin2=(2-
3
)×2
=4-2
3
,即a=
4-2
3
=
3
-1
點評:本題考查了向量的數(shù)量積運算,三角函數(shù)恒等變換公式,以及余弦定理和基本不等式的綜合應用,掌握正弦函數(shù)的基本性質(zhì)和解析式正確化簡,是解好本題的關鍵.
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1
f(n)
}
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2
),cosα=-
5
5
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λ
1+λ
,β=
1
1+λ
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1
z
+z
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1
2
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(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若-1<a<3,證明:對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>1成立.

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