Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點．

（1）求證：FH∥平面EDB；
（2）求證：AC⊥平面EDB；
（3）解：求二面角B﹣DE﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)AC于BD交于點G，則G為AC的中點，連接EG，GH，又H為BC的中點，

∴GH∥AB且GH= AB，又EF∥AB且EF= AB，∴EF∥GH且EF=GH，

∴四邊形EFHG為平行四邊形

∴EG∥FH，而EG平面EDB，∴FH∥平面EDB

（2）證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC

而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH，

又BF=FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC

∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥BC，F(xiàn)H⊥AC，

又FH∥EG，∴AC⊥EG

又AC⊥BD，EG∩BD=G，

∴AC⊥平面EDB

（3）EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，

在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，則

∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個平面角，

設(shè)EF=1，則AB=2，F(xiàn)C= ，DE= ，

又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，

∴sin∠EDC=sin∠KEF= ，

∴FK=EFsin∠KEF= ，

tan∠FKB= = ，

∴∠FKB=60°，

∴二面角B﹣DE﹣C為60°．

【解析】（1）設(shè)AC于BD交于點G，則G為AC的中點，連接EG，GH，又H為BC的中點，可得四邊形EFHG為平行四邊形，然后利用直線與平面平行判斷定理進(jìn)行證明；（2）因為四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC，又EF∥AB，可得EF⊥BC，要證FH⊥平面ABCD，F(xiàn)H⊥平面ABCD，從而求解．（3）在平面CDEF內(nèi)過點F作FK⊥DE交DE的延長線與k，可知∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個平面角，然后設(shè)EF=1，在直角三角形中進(jìn)行求證．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案．