Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+1-3a_n-1=0（n∈N^*）
（Ⅰ）若存在一個(gè)常數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n+λ}為等比數(shù)列，求出λ的值；
（Ⅱ）設(shè)a₁=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，求滿(mǎn)足S_n＞1090的n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義，建立條件關(guān)系即可求出λ的值；
（Ⅱ）求出數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1-3a_n-1=0，即a_n+1=3a_n+1
∴設(shè)a_n+1+λ=3（a_n+λ），
即a_n+1=3a_n+2λ，由2λ=1，
解得λ=

1

2

，此時(shí)數(shù)列{a_n+λ}為等比數(shù)列，公比q=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
則{a_n+

1

2

}是公比q=3的等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，
則a_n+

1

2

=3^n-1則a_n==3^n-1-

1

2

．
則Sn=

1-3n-1

1-3

-

1

2

n=

1

2

(3n-1-1)-

1

2

n，
由S_n＞1090得3ⁿ-n＞2181，
∵S₇=2180＜2181，S₈=6553＞2181，
滿(mǎn)足S_n＞1090的n的最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，以及數(shù)列的求和，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．