Question

.（本題滿分12分）
如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.
（1）證明：面PBD⊥面PAC；
（2）求銳二面角A—PC—B的余弦值.

Answer 1

1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，
所以AC
因?yàn)镻A平面ABCD，
所有PABD.…………………………2分
又因?yàn)镻AAC=A，
所以BD面 PAC.……………………3分
而BD面PBD，
所以面PBD面PAC.…………………5分
（2）如圖，設(shè)ACBD=O.取PC的中點(diǎn)Q，連接OQ.
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ為△APC的中位線，所以O(shè)Q//PA.
因?yàn)镻A平面ABCD，
所以O(shè)Q平面ABCD，……………………………………………………6分
以O(shè)A、OB、OQ所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系O
則
………………………………………………………………………7分
因?yàn)锽O面PAC，
所以平面PAC的一個法向量為…………………………………8分
設(shè)平面PBC的一個法向量為
而
由得
令則
所以為平面PBC的一個法向量.……………………………10分
＜＞……………………12分

略