【題目】已知函數(shù)的極小值為

1)求實數(shù)k的值;

2)令,當時,求證:

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

1)求出導數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,得極值,由極小值為求得值;

2)由(1)得,令,同樣由(1)可得的單調(diào)性(導數(shù)利用(1)中結(jié)論),這樣得到關(guān)于u的不等式的解集應是單調(diào)遞增區(qū)間的子集,而,從而,接著要證題中不等式,可先證,這又可設,,換元后同樣由導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值,證得不等式成立.

1)顯然,,由題意得:

得:

,則當時,;

時,,此時為極小值點,合題意.

得:

,顯然不合題意.

所以

2)由題意得:,令

由(1)易知單調(diào)遞減,且;在單調(diào)遞增

故關(guān)于u的不等式:的解集應是單調(diào)遞增區(qū)間的子集

,從而

,則

所以

顯然當時,;當時,

從而單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

所以

,所以,從而

于是,即

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