Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（1，2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：據(jù)題中函數(shù)特征，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x²+1顯然有兩個(gè)零點(diǎn)且一正一負(fù)；
分類討論的運(yùn)用 當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)可得單調(diào)區(qū)間，存在負(fù)零點(diǎn)； 當(dāng)a＜0時(shí)，求導(dǎo)可得；滿足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，即可得出答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x²+1顯然有兩個(gè)零點(diǎn)且一正一負(fù)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：
x∈（-∞，0）和x∈(

2

a

，+∞)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增； x∈(0，

2

a

)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
顯然存在負(fù)零點(diǎn)； 
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，求導(dǎo)可得：f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：
x∈(-∞，

2

a

)和x∈（0，+∞）時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減； x∈(

2

a

，0)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
欲要使得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正，則滿足：

f( 2 a )＞0 f(0)＞0

，
即得：a×(

2

a

)3-3(

2

a

)2+1＞0，
可解得：a²＞4，則a＞2（舍去），a＜-2．
故選：D

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷即應(yīng)用，屬于難題．