Question

已知f(x)=2cos(2x+

π

3

)+4

3

sinxcosx+1．
（Ⅰ）若f（x）的定義域?yàn)?span id="hpa7oio" class="MathJye">[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對(duì)邊，當(dāng)f（A）=2，b+c=2時(shí)，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的余弦公式和正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求值域；
（Ⅱ）運(yùn)用余弦定理，和基本不等式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最小值a．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2(cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

)+2

3

sin2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
當(dāng)x∈[

π

12

，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則f（x）的值域?yàn)閇0，3]．
（Ⅱ）f（A）=2，即2sin（2A+

π

6

）+1=2，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
即有2A+

π

6

=

5π

6

，解得，A=

π

3

，
再由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc，
由于b+c=2≥2

bc

，即有bc≤1，則a²≥4-3=1，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1，取得最小值1．
故a的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值域，考查余弦定理的運(yùn)用，以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．